一様分布の期待値と分散

Lebesgue積分を定義通りに計算することがなかったので（する必要はないが），一様分布の期待値と分散を題材に計算してみる．

確率空間\( (\varOmega,\, \mathcal{F},\, P) \)で考える．確率変数\( X\colon \varOmega \to \mathbb{R} \)が一様分布\( \mathcal{U}(0,\,1) \)に従うとは，\( X \)の分布関数\( F \colon \mathbb{R} \to [0,\,1] \)が以下で与えられることである： \begin{align*} F(x) := P(\{\omega \in \varOmega \mid X(\omega) \leq x\}) = \begin{cases} 0 & \text{if \(x \in (-\infty,\, 0),\)} \\[3pt] x & \text{if \(x \in [0,\, 1),\)} \\[3pt] 1 & \text{if \(x \in [1,\, \infty).\)} \\ \end{cases} \end{align*} \(F\)の密度関数\(f\)は \begin{align*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if \(x \in [0,\, 1),\)} \\[3pt] 0 & \text{otherwise.} \\ \end{cases} \end{align*} \(X\)の期待値は \begin{align*} E[X] &= \int_{\varOmega} X(\omega) P(d\omega) \\ &= \int_{0}^{1} x f(x) dx \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2^n} \frac{k - 1}{2^n} P \left( \left\{ \omega \in \varOmega \;\middle|\; X(\omega) \in \left[ \frac{k - 1}{2^n},\,\frac{k}{2^n} \right) \right\} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \cdot \frac{2^n}{2} \cdot ({0 + 2^n - 1}) \cdot \frac{1}{2^n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \parentheses{1 - \frac{1}{2^n}} \\ &= \frac{1}{2}. \end{align*} \(X\)の分散は \begin{align*} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \int_{0}^1 x^2 f(x) dx - \frac{1}{4} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2^n} \parentheses{\frac{k - 1}{2^{n}}}^2 P \left( \left\{ \omega \in \varOmega \;\middle|\; X(\omega) \in \left[ \parentheses{\frac{k - 1}{2^n}}^2,\,\parentheses{\frac{k}{2^n}}^2 \right) \right\} \right) - \frac{1}{4} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2^n} \frac{(k - 1)^2}{2^{2n}} \cdot \frac{1}{2^n} - \frac{1}{4} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{3n}} \cdot \frac{1}{6} \cdot (2^n - 1) \cdot 2^n \cdot (2 \cdot 2^n - 1) - \frac{1}{4} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6\cdot 2^{3n}} \cdot \parentheses{2 \cdot 2^{3n} - 3 \cdot 2^{2n} + 2^n } - \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{12}. \end{align*}

一般に確率変数\(X'\)が一様分布\(\mathcal{U}(a,\,b)\)にしたがうとき，\( X \sim \mathcal{U}(0,\, 1) \)を用いて\( X' = (b - a) X + a \)と表すことができるから，期待値と分散はそれぞれ \begin{align*} E[X'] &= E[(b - a)X + a] \\ &= \frac{b - a}{2}\cdot E[X] + a \\ &= \frac{a + b}{2}, \end{align*} \begin{align*} V[X'] &= V[(b - a)X + a] \\ &= (b - a)^2 \cdot V[X] \\ &=\frac{(b - a)^2}{12} \end{align*} と計算できる．