Stone–Weierstraßの定理

記法について

• \(\mathbb{K}\)は実数体\(\mathbb{R}\)または複素数体\(\mathbb{C}\)のいずれかを指す．
• \(\mathbb{N} = \{0,\,1,\,\ldots\}\)，\(\mathbb{Z}_+ = \{1,\,2,\,\ldots\}\)．
• \(\mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R} \mid x\geq 0\}\)．
• \((f\lor g)(x) := \max\{f(x),\,g(x)\}\)，\((f \land g)(x) := \min \{f(x),\,g(x)\}\)．

以下で代数といった場合，可換な代数を指すものとする．代表的な代数は以下のものである．

確認すべき点は以下である．

1. \(C(X)\)がベクトル空間であること．すなわち\(C(X)\)が和とスカラー倍について閉じていて，定義1 (I), (II)を満たすこと．
2. \(C(X)\)が代数であること．すなわち積について閉じていて，定義2 (1)–(5)を満たしていること．

和，スカラー倍，積について閉じていることのみを示す．

【和について閉じていること】 任意の\(f,\,g \in C(X)\)について，\(f + g \in C(X)\)を示す．\(f\)が連続なので，任意の\(x_0 \in X\)について，任意の\(\varepsilon \gt 0\)をとったとき，\(x_0\)の近傍\(V_1\)が存在して，\(x \in V_1\)ならば \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{2} \end{align*} が成り立つ．\(g\)についても同様に，\(x_0\)の近傍\(V_2\)が存在して，\(x \in V_2\)ならば \begin{align*} |g(x) - g(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{2} \end{align*} が成り立つ．よって\(x \in V_1 \cap V_2\)ならば \begin{align*} |(f + g)(x) - (f + g)(x_0)| &= |f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))| \\ &= |f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)| \\ &\leq |f(x) - f(x_0) | + | g(x) - g(x_0)| \\ &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} となり，\(f + g\)も\(x_0 \in X\)で連続である．したがって\(f + g \in C(X)\)である．

【スカラー倍について閉じていること】 \(\alpha\)を任意の実数とする．任意の\(f \ \in C(X)\)について\(\alpha f \in C(X)\)となることを示す．\(f\)が任意の\(x_0 \in X\)で連続なので，任意の\(\varepsilon \gt 0\)に対して，\(x_0\)の近傍\(V\)が存在して，\(x \in V\)ならば \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{|\alpha| + 1} \end{align*} が成り立つ．したがって \begin{align*} |(\alpha f)(x) - (\alpha f)(x_0)| & = |\alpha f(x) - \alpha f(x_0)| \\ & \leq |\alpha | |f(x) - f(x_0)| \\ & \lt |\alpha | \frac{\varepsilon}{|\alpha| + 1} \\ & \leq \varepsilon \end{align*} となり，\(\alpha f \in C(X)\)である．

【積について閉じていること】 任意の\(f,\,g \in X\)について\(fg \in C(X)\)を示す．任意の\(x_0 \in X\)をとる．\(f\)が\(x_0\)で連続なので，\(x_0\)の近傍\(V_1\)が存在して，\(x \in V_1\)ならば \begin{gather*} |f(x) - f(x_0)| \leq 1 \\ |f(x) | \leq | f(x_0)| + 1 \end{gather*} が成り立つ．同じく連続であることから，任意の\(\varepsilon \gt 0\)に対し，\(x_0\)の近傍\(V_2\)が存在して，\(x \in V_2\)ならば \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{2(|g(x_0) + 1|)} \end{align*} が成り立つ．同様に\(g\)が連続なことから，\(x_0\)の近傍\(V_3\)が存在して，\(x \in V_3\)ならば \begin{align*} |g(x) - g(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{2(|f(x_0)| + 1)} \end{align*} となる．したがって任意の\(x \in V_1 \cap V_2 \cap V_3\)について \begin{align*} |(fg)(x) - (fg)(x_0)| &= |f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)| \\ &= |f(x)g(x) - f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0)| \\ &= |f(x)(g(x) - g(x_0)) + (f(x) - f(x_0))g(x_0)| \\ &\leq |f(x)| |g(x) - g(x_0)| + |f(x) - f(x_0)| | g(x_0)| \\ &\lt (|f(x_0)| + 1) \frac{\varepsilon}{2(|f(x_0)| + 1)} + \frac{\varepsilon}{2(|g(x_0)| + 1)} |g(x_0)| \\ &\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} が成り立つ．よって\(fg \in C(X)\)である．

証明 \(f\)が連続なので，任意の\(x_0 \in X\)において，どのような\(\varepsilon \gt 0\)に対しても，\(x_0\)の近傍\(V\)で，\(x \in V\)ならば \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon \end{align*} となるようなものが存在する．三角不等式の性質\(\Bigl| |a| - |b| \Bigr| \leq |a - b|\)より \begin{align*} \Bigl||f(x)| - |f(x_0)|\Bigr| \leq |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon \end{align*} が成り立つので\(f\)は\(x_0\)で連続である．\(x_0\)は任意だったので\(f\)は\(X\)で連続であり，ゆえに\(f \in C(X)\)が示せた．∎

証明 \(f \lor g,\,f \land g\)はそれぞれ \begin{align*} f \lor g = \frac{1}{2}(f + g + | f - g|),\quad f \land g = \frac{1}{2}(f + g - | f - g|),\quad \end{align*} と表される．命題4より\(|f -g| \in C(X,\,\mathbb{R})\)であるから\(f \lor g,\,f \land g \in C(X,\,\mathbb{R})\)がわかる．∎

代数はベクトル空間を拡張したものであるから，ノルムを導入することができる．先にノルムの定義を確認する．

代数のノルムは以下のように定義される．

主な興味の対象である\(C(X)\)の話に戻ろう．

以下では\(C(X)\)のノルムとしては一様ノルムのみを考え，\(\|\cdot\|_\infty\)を単に\(\|\cdot\|\)と書く．

【一様ノルムが代数のノルムになっていることの確認】 省略．

【完備であることの確認】 \(C(X)\)上の任意のCauchy列\((f_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)をとる．このとき，任意の\(\varepsilon \gt 0\)に対して，ある\(N_1 \in \mathbb{Z}_+\)が存在して，\(m,\,n \geq N_0\)ならば \begin{align*} \|f_m - f_n\| \lt \varepsilon, \end{align*} すなわち，任意の\(x \in X\)で \begin{align*} |f_m(x) - f_n(x)| \lt \varepsilon \end{align*} が成り立つ．\(\mathbb{K}\)の完備性により\((f_n(x))_{n \in \mathbb{Z}_+}\)はある\(\alpha_x \in \mathbb{K}\)に収束する．すなわち\(f(x) := \alpha_x\)とすると，\(f\colon X \to \mathbb{K}\)であり，ある\(N \in \mathbb{Z}_+\)が存在して \begin{align} |f_N(x) - f(x)| \lt \frac{\varepsilon}{3} \label{complete} \end{align} を満たす．\(x \in X\)は任意だったので\((f_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)は\(f\)に一様収束する．この\(f\)が連続であることを示す．\(f_N\)は連続なので，\(x\)の近傍\(V_x\)が存在し，\(y \in V_x\)ならば \begin{align} |f_N(y) - f_N(x)| \lt \frac{\varepsilon}{3} \label{continuous-fn} \end{align} が成り立つ．\((\ref{complete})\)と\((\ref{continuous-fn})\)より \begin{align*} |f(y) - f(x)| &= |f(y) - f_N(y) + f_N(y) - f_N(x) + f_N(x) - f(x)| \\ &\leq |f(y) - f_N(y)| + |f_N(y) - f_N(x)| + |f_N(x) - f(x)| \\ &\lt \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{align*} よって\(f\)は\(x\)で連続であり，\(x\)は任意だったので，\(f \in C(X)\)が示せた．

次は代数における部分ベクトル空間に対応するものを考える．

\(C(X,\,\mathbb{K})\)の部分代数\(A\)において，\(X\)の任意の異なる2点\(x_1,\,x_2\)に対して，\(f(x_1) \neq f(x_2)\)となるような\(f\in A\)が存在するとき，\(A\)は\(X\)を分離するという．例えば\(X = [-1,\,1]\)上の多項式関数全体の集合 \begin{align*} A := \left\{f\colon x \mapsto a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n} x^{n} \; \middle| \; a_{0},\,\ldots,\,a_{n} \in \mathbb{K} \right\} \end{align*} は\(C(X,\,\mathbb{K})\)の部分代数であり，\(f\colon x \mapsto x\)により，\(f(x_1) \neq f(x_2)\)とできる．一方で偶数次の項のみからなる多項式関数の全体の集合 \begin{align*} A' := \left\{f\colon x \mapsto a_0 + a_2 x^2 + \cdots + a_{2n} x^{2n} \; \middle| \; a_{0},\,\ldots,\,a_{2n} \in \mathbb{K} \right\} \end{align*} は部分代数ではあるが，どのような\(f\in A\)をとっても\(f(-1) = f(1)\)となるため，\(X\)を分離することはできない．

証明 \(A\)が\(X\)を分離するので，\(X\)の異なる任意の2点\(x_1,\,x_2\)に対して，\(f(x_1) \neq f(x_2)\)となるような\(f\in A\)が存在する．このとき\(h\)を \begin{align*} h(x) = \alpha \boldsymbol{1} + (\beta - \alpha) \frac{f(x) - f(x_1)}{f(x_2) - f(x_1)} \end{align*} と定義すると，これは条件を満たす．∎

これでStone–Weierstraßの定理を述べるための準備が整った．

証明にあたり，必要となる補題を示す．

証明 \(f \lor g,\,f \land g\)はそれぞれ \begin{align*} f \lor g = \frac{1}{2} (f + g + |f - g|), \\ f \land g = \frac{1}{2} (f + g - |f - g|), \\ \end{align*} と表すことができる．したがって\(f \in A\)ならば\(|f| \in A\)が成り立つことを示せばよい．まず\(|f|\)が \(a_1f + a_2 f^2 + \cdots a_n f^n \in A\)で近似できることを示す（\(A\)がunitalとはいっていないため\(a_0 1_X,\,a_0 \neq 0\)は含まれていないことに注意する．）．

\(|t| = \sqrt{t^2}\)なので，これの多項式近似を考えたいところではあるが，\(t \mapsto \sqrt{t^2}\)は扱いが難しいため，かわりに\(t \mapsto \sqrt{1 - t}\)を考える．関数\(f\)を \begin{align*} f\colon(-\infty,\,1] \to \mathbb{R},\quad f(t) = \sqrt{1 - t} \end{align*} と定義する．この関数は\((-\infty,\,1)\)で微分可能で，各次の導関数は以下のようになる： \begin{gather*} f'(t) = \frac{1}{2} (1 - t)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(1 - t)^{-1/2}, \\ f''(t) = -\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (1 - t)^{-3/2} \cdot (-1) = - \frac{1}{4}(1 - t)^{-3/2}, \\ f'''(t) = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot (1 - t)^{-5/2} \cdot (-1) = - \frac{3}{8} (1 - t)^{-5/2}, \\ \vdots \\ f^{(n)}(t) = - \frac{(2 n - 3) !! }{2^n} (1 - t)^{- (2 n - 1)/2} \ (n \geq 2). \end{gather*} ここで\((2n - 3)!!\)は二重階乗\((2n - 3)\cdot(2n - 5) \cdot \cdots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1\)である．

Taylorの定理によりと任意の\(-1 \lt t \lt 1\)について\(|\theta| \lt t\)が存在して \begin{align*} \sqrt{1 - t} &= f(0) + f'(0) t + \frac{1}{2} f''(0) t^2 + \frac{1}{3!}f'''(0) t^3 + \cdots + \frac{1}{(n - 1)!} f^{(n - 1)} t^{n - 1} + \frac{1}{n!}f^{(n)}(\theta) t^n \\ &= 1 - \frac{t}{2} -\sum_{k = 2}^{n - 1} \frac{(2k - 3)!!}{k!2^k} t^{k} - \frac{(2n - 3)!!}{n!2^n} \theta^n \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k t^k - a_n \theta^n \end{align*} が成り立つ．ここで \begin{align*} a_0 = 1,\quad a_1 = \frac{1}{2},\quad a_n = \frac{(2n - 3)!!}{n!2^n}\quad (n \geq 2) \end{align*} とした．このとき \begin{align*} \left|\sqrt{1 - t} - \left(\sum_{k = 0}^{n -1} a_k t^k \right)\right| &= \left| a_n \theta^k \right| \\ &= \frac{(2n - 3)!!}{n!2^n} \theta^n \\ &\lt \frac{1}{2^n (2n - 4) \cdot (2n - 6) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 2} \\ &\leq \frac{1}{2^n} \to 0 \quad(n \to \infty) \end{align*} となるから，\(\sum_{k = 1}^\infty a_k t^k\)は区間\((-1,\,1)\)で\(\sqrt{1 - t}\)に一様収束する．\(t = 1\)のとき\(\sum_{n = 0}^\infty a_n t^n\)が収束する，すなわち\(\sum_{n = 0}^\infty a_n\)が収束することを示す．Ratio testを試みると \begin{align} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n } \right| &= \frac{n!2^n}{(2n - 3)!!} \frac{(2n - 1)!!}{(n + 1)!2^{n + 1}} \notag \\ &= \frac{2n - 1}{2(n + 1)} \notag \\ &= \frac{2(n + 1) - 3}{2(n + 1)} \notag \\ &= 1 - \frac{3}{2(n + 1)} \to 1 \quad(n \to \infty) \label{radius} \end{align} となるため，ratio testではなくRaabeの判定法（定理 A.1）を試みる． \begin{align*} b_n &:= n \left(1 - \frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}\right) \\ &= n \left(1 - 1 + \frac{3}{2(n + 1)}\right) \\ &= \frac{3 n}{2(n + 1)} \\ &= \frac{3}{\displaystyle 2\left(1 + \frac{1}{n}\right)} \to \frac{3}{2} \end{align*} \(\lim_{n \to \infty} b_n \gt 1\)であるから，\(\sum_{n = 0}^\infty a_n\)は絶対収束する．したがってAbelの連続性定理（定理A.2）により \begin{align*} \sum_{k = 0}^\infty a_k = \lim_{t \to 1 - 0}\sqrt{1 - t} = 0 \end{align*} となる．ゆえに級数\(\sum_{k = 0}^\infty a_k t^k\)は\((-1,\,1]\)，特に\([0,\,1]\)で\(f\)に一様収束することがわかった．視覚的に確認するために\(y = \sqrt{1 - t}\)と\(y = \sum_{k = 0}^n a_k t^k\) \((n = 1,\,10)\)を図示すると以下のようになっており，確かに成り立っていそうである．

関数\(p\colon[-1,\,1] \to \mathbb{R}\)を \begin{align*} p(t) = \sum_{n = 0}^\infty a_n (1 - t^2)^n \end{align*} で定義する．このとき \begin{align*} \Bigl||t| - p(t)\Bigr| & = \left| \sqrt{1 - (1 - t^2)} - \sum_{k = 0}^\infty a_k (1 - t^2)^n \right| \end{align*} となるから\(p\)は\([-1,\,1]\)で\(|t|\)に一様収束する．\(y = |t|\)と\(y = \sum_{k = 0}^n a_k (1 - t^2)^k\) \((n = 1,\,10)\)についても図示してみると以下のようになっており，うまく近似できていることがわかる．

級数\(\sum_{n = 0}^\infty a_n(1 - t^2)^n\)は\(t \in [-1,\,1]\)で絶対収束するから，項の順番を入れ替えて足し合わせてもよい．\(\sum_{n = 0}^\infty a_n = 0\)であったから，以下のように\(p\)を書き改めることができる． \begin{align*} p(t) &= \sum_{n = 0}^\infty a_n (1 - t^2)^n \\ &= a_0 + a_1 (1 - t^2) + a_2(1- 2 t^2 + t^4) + a_3 (1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6) + \cdots \\ &= \sum_{n = 0}^\infty a_n - (a_1 + 2 a_2 + \cdots )t^2 + (a_2 + 3 a_3 + \cdots)t^4 + \cdots \\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^\infty c_n t^{2n} \end{align*} ただし記号\(\displaystyle \binom{n}{k}\)は二項係数を表しており， \begin{align*} c_n & = (-1)^n \left(\binom{n}{n} a_n + \cdots + \binom{n + j}{n} a_{n + j} + \cdots \right) \\ & = (-1)^n \sum_{j = 0}^\infty \left(\binom{n + j}{n} a_{n + j} \right) \\ \end{align*} である．

\(t \mapsto |t|\)を多項式近似することができたので，これで\(|f|\)の多項式近似を考えることができる．\(\|f\| = 0\)，すなわち\(f = 0_{C(X)}\)のときは\(|f| = f\in A\)となる．よって以下では\(\|f\| \gt 0\)とする．このとき \begin{align*} |f| = \|f\| \frac{|f|}{\|f\|} \end{align*} が成り立つので\(f \in A\)ならば\(|f|/\|f\| \in A\)を示せばよいことがわかる．任意の\(x \in X\)に対して\(f(x)/\|f\| \in [-1,\,1]\)なので \begin{align*} \sum_{k = 1}^n c_n \left( \frac{f(x)}{\|f\|} \right)^2 \in A \end{align*} であり，これは\(n \to \infty\)とすると \begin{align*} \left|\frac{f(x)}{\|f\|}\right| = \frac{|f(x)|}{\|f\|} = \frac{|f|(x)}{\|f\|} \end{align*} に一様収束する．\(A\)が閉集合であるから\(|f|/\|f\| \in A\)である．よって\(f \in A\)ならば\(|f| \in A\)であり，定理の主張が成り立つ．∎

証明 任意の\(f \in C(X)\)と\(\varepsilon \gt 0\)を与えられたとする．このとき任意の\(z \in X\)について \begin{align} | g(z) - f(z) | \lt \varepsilon \label{g} \end{align} となるような\(g \in A\)が存在することを示す．まず任意に\(x \in X\)をとる．命題10の結果より，\(x \neq y\)を満たす任意の\(y \in X\)について \begin{align} h_{x,\,y}(x) = f(x),\quad h_{x,\,y}(y) = f(y) \label{h} \end{align} となるような\(h_{x,\,y} \in A\)をとることができる．\(x = y\) のときは \(h_{x,\,y} := f(x) \boldsymbol{1}\) とすれば\((\ref{h})\)が成り立つ． \(h_{x,\,y}\)と\(f\)は連続なので，\(y\)の開近傍\(U_y\)で \begin{align*} z \in U_y \; \Longrightarrow \; h_{x,\,y}(z) - f(z) \lt \varepsilon \end{align*} となるようなものをとることができる．このようにして得られた集合族 \(\{U_y\}_{y \in X}\) は \(X\) の開被覆である．\(X\)はコンパクトであるから，有限個\(U_{y_1},\,\ldots,\,U_{y_n}\)によって\(X\)を覆うことができる．そこで \begin{align*} h_x = h_{x,\,y_1} \land \cdots \land h_{x,\,y_1} \end{align*} によって定義すると，命題10により\(h_x \in A\)である．さらに任意の\(z \in X\)で \begin{align*} h_x(z) - f(z) \lt \varepsilon \end{align*} かつ\(h_x(x) = f(x)\)である．関数\(h_{x},\, f\)が連続なので，各\(x \in X\)について，その開近傍\(V_x\)で， \(z \in V_x\)ならば \begin{align*} z \in V_z \; \Longrightarrow \; -\varepsilon \lt h_x(z) - f(z) \end{align*} となるようなものをとることができる．\(\{V_x\}_{x \in X}\)は\(X\)の開被覆であり，\(X\)がコンパクトなので，有限個の\(V_{x_1},\,\ldots,\,V_{x_n}\)で\(X\)を覆うことができる．そこで \begin{align*} g = h_{x_1} \lor \cdots \lor h_{x_m} \end{align*} と定義する．このとき\(g \in A\)であり，これは\((\ref{g})\)を満たす．したがって\(\|f - g\| \lt \varepsilon\)であり，\(f \in \overline{A}\)が成り立つ．したがって\(C(X)\subseteq \overline{A}\)となるが，\(A\)は閉集合だったので\(A = \overline{A} = C(X)\)が成り立つ．∎

付録 A

証明 略．

証明 各\(n \in \mathbb{N}\)について\(s_n = \sum_{k = 0}^n a_k\)とし，\(s = \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k = 0}^\infty a_k\)とする．Abelの変形により \begin{align*} \sum_{k = 0}^n a_k x^k & = \sum_{k = 0}^{0} a_k + \left(\sum_{k = 0}^1 a_k - \sum_{k = 0}^{0} a_k \right) x + \cdots + \left(\sum_{k = 0}^n a_k - \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k \right) x^n \\ & = \left(\sum_{k = 0}^{0} a_k \right) (1 - x) + \left(\sum_{k = 0}^{1} a_k \right) (x - x^2) + \cdots + \left(\sum_{k = 0}^{n - 1} a_k \right) (x^{n - 1} - x^n) + \left(\sum_{k = 0}^n a_k \right) x^n \\ & = (1 - x) \sum_{j = 0}^{n - 1} s_j x^j + s_n x^n \end{align*} となるから \begin{align} \sum_{k = 0}^n a_k x^k - s &= (1 - x) \sum_{j = 0}^{n - 1} s_j x^j + s_n x^n - s (1 - x^n) - s x^n \notag \\ &= (1 - x) \sum_{j = 0}^{n - 1} s_j x^j - (1 - x)\frac{1 - x^n}{1 - x}s \notag \\ &= (1 - x) \sum_{j = 0}^{n - 1} (s_j - s) x^j \label{abel} \end{align} が成り立つ．

\(x \in (-1,\,1)\)において\(\sum_{k = 0}^n a_k x^k \)が\(f\)に収束するので，任意の\(\varepsilon \gt 0\)に対して，ある\(N \in \mathbb{N}\)が存在して，\(n \geq N\)ならば任意の\(x \in (-1,\,1)\)で \begin{align} \left| f(x) - \sum_{k = 0}^n a_k x^k\right| \leq \frac{\varepsilon}{2} \label{abel2} \end{align} が成り立つ．

\((\ref{abel}),\,(\ref{abel2})\)より \begin{align*} \left| f(x) - s \right| &= \left| f - \sum_{k = 0}^N a_k x^k + \sum_{k = 0}^N a_k x^k - s \right| \\ &= \left| f - \sum_{k = 0}^N a_k x^k \right| + \left| \sum_{k = 0}^N a_k x^k - s \right| \\ &\leq \frac{\varepsilon}{2} + (1 - x) \sum_{j = 0}^{N - 1}|s_j - s|x^j \\ \end{align*} となるから，\(x\)を十分に\(1\)に近くとる，具体的には \begin{align*} \delta = 1 - \frac{\varepsilon}{2\sum_{k = 0}^{N - 1} |s_j - s|} \end{align*} として任意の\(x \in (\delta,\, 1)\)をとれば\(|f(x) - s |\leq \varepsilon\)となる．よって \begin{align*} \lim_{x \to 1 - 0}f(x) = s = \sum_{n = 0}^\infty a_k \end{align*} が成り立つ．∎

この定理は特定の条件下では \begin{align*} \lim_{x \to 1 - 0} \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 0}^n a_n x^n = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1 - 0}\sum_{k = 0}^n a_n x^n \end{align*} が成り立つということを述べている．

参考文献

1. Serge Lang (1993)Real and Functional Analysis. Springer New York.
2. R. M. Dudley and R. Norvaiša (2010) Concrete Functional Calculus. Springer New York.
3. 松坂 和夫(2018)「解析入門 中[電子書籍版]」岩波書店．
4. 宮島 静雄(2003)「微分積分学I」共立出版．