確率過程 勉強ノート（書きかけ）

1. はじめに

無限回のコイントスの\(\sigma\)-代数ってどうなるの？

2. 記法

人や場面によって表記・呼称が異なることが多いもの，同じ表記・呼称で異なるものを指すことが多いものについて，このページにおける定義を示しておく．

• \(a := b\)は\(a\)を\(b\)で定義することを表す．
• \(\mathbb{Z}_+\)は正整数全体の集合\(\{1,\,2,\,\ldots\}\)を表す．
• \(\mathbb{R}_+\)は非負実数全体の集合\(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\)を表す．
• \(\mathfrak{P}(\varOmega)\)は\(\varOmega\)の冪集合を表す．
• 体\(K\)といった場合，\(K = \mathbb{R}\)または\(K = \mathbb{C}\)である．
• 互いに素な\(\mathcal{F}\)の族\((F_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)とは，\(\mathcal{F}\)の要素からなる族\((F_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)で\(i \neq j\)ならば\(F_i \cap F_j = \emptyset\)を満たすものを指す．
• 任意の\(n \in \mathbb{Z}_+\)で\(P_n \subset P_{n + 1}\)が成り立つとき，\(P_n\uparrow\)と書く．同様に任意の\(n \in \mathbb{Z}_+\)で\(P_n \supset P_{n + 1}\)が成り立つとき，\(P_n\downarrow\)と書く．
• 実数値関数\(f,\,g\)について，\(f \land g\)を\((f \land g)(x) = \min\{f(x),\,g(x)\}\)と定義する．また\(f\lor g\)を\((f \lor g)(x) = \min \{f(x),\,g(x)\}\)と定義する．

2. コイントスのモデル

コインを1度だけ投げる試行において，表が出る根源事象を\(\mathrm{H}\) (head)，コインの裏が出る根源事象を\(\mathrm{T}\) (tail)で表す．このとき標本空間は\(\varOmega = \{\mathrm{H},\,\mathrm{T}\}\)である．事象空間として離散\(\sigma\)-代数，すなわち\(\mathcal{F} := \mathfrak{P}(\varOmega) = \{\emptyset, \{\mathrm{H}\}, \{\mathrm{T}\}, \{\mathrm{H},\, \mathrm{T}\}\}\)をとる．状態空間は\((S,\, \mathcal{G}) = (\varOmega,\, \mathcal{F})\)とする．確率変数\(X\colon \varOmega \to S\)は恒等関数\(X(\omega) = \omega\)とする．確率測度\(P\)は\(P(\{\omega \in \varOmega \mid \omega = \mathrm{H}\}) = P(\{\omega \in \varOmega \mid \omega = \mathrm{T}\}) = 1 / 2\)とする．以上はコインを1度だけ投げる試行のモデルになっている．

3. 有限回連続コイントス

\(I = \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\)とする．\(i\)回目の試行の標本空間を\(\varOmega_i = \{\mathrm{H},\,\mathrm{T}\}\)とする． \begin{align*} \varOmega^I &:= \prod_{i \in I} \varOmega_i \\ &= \varOmega_1 \times \cdots \times \varOmega_n \\ &= \{(\omega_1,\,\ldots,\,\omega_n) \mid \text{\(\omega_i \in \varOmega_i\) for all \(i \in I\)} \} \end{align*} となる．各\(\varOmega_i\)の事象空間として離散\(\sigma\)-代数\(\mathcal{F}_i := \mathfrak{P} (\varOmega_i) = \{\emptyset,\,\{\mathrm{H}\},\, \{\mathrm{T}\},\, \{\mathrm{H},\, \mathrm{T}\}\}\)をとる．このとき\(n\)回の試行全体の事象空間は \begin{align*} \mathcal{F} = \sigma(\{F_1 \times \cdots \times F_n \mid \text{\(F_i \in \mathcal{F}_i\) for all \(i \in I\)}\}) \end{align*} をとればよい．

4. 添字集合が有限集合でない場合の直積\(\sigma\)-代数

集合\(\varLambda\)で添字付けられた集合族\((\varOmega_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}\)について，直積\(\prod_{\lambda \in \varLambda} \varOmega_\lambda\)の任意の要素\(\alpha \in \varLambda\)に関する射影を \begin{align*} \pi_\alpha \colon \prod_{\lambda \in \varLambda} \varOmega_\lambda \to \varOmega_\alpha,\quad \pi_\alpha ((\omega_t)_{\lambda \in \varLambda}) = \omega_\alpha \end{align*} で表す．このとき\(U_\alpha \subseteq \varOmega_\alpha\)の逆像は \begin{align*} \pi_\alpha^{-1}(U) & = \{ (\omega_t)_{\lambda \in \varLambda} \mid (\omega_\lambda \in \varOmega_\lambda \text{ for all }\lambda \in \varLambda),\,\omega_\alpha \in U_\alpha\} \end{align*} と表すことができる．例えば\(\varLambda = \mathbb{Z}_+,\) \(U_1 \subseteq \varOmega_1\)のとき \begin{align*} \pi_1^{-1}(U_1) & = \{ (\omega_1,\,\omega_2,\,\omega_3,\,\ldots) \mid \omega_1 \in U_1,\,\omega_2 \in \varOmega_2,\,\omega_3 \in \varOmega_3,\,\ldots\} \\ & = U_1 \times \varOmega_2 \times \varOmega_3 \times \cdots \end{align*} である．添字集合\(\varLambda\)の\(n\)個の異なる要素をとる，すなわち \begin{align*} \varLambda^n_\neq := \{(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n) \mid \alpha_1,\ldots,\,\alpha_n \in \varLambda,\, \alpha_i \neq \alpha_j \text{ if }i \neq j \} \label{in} \end{align*} から\((\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n)\)をとる場合は \begin{gather*} \pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}\colon \prod_{\lambda \in \varLambda} \varOmega_\lambda \to \varOmega_{\alpha_1} \times \cdots \times \varOmega_{\alpha_n},\\ \pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}((\omega_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}) = (\omega_{\alpha_1},\,\ldots,\,\omega_{\alpha_n}) \end{gather*} と定義する．\(U_{\alpha_1} \times \cdots \times U_{\alpha_n} \subseteq \varOmega_{\alpha_1} \times \cdots \times \varOmega_{\alpha_n}\)の逆像は \begin{align} &\phantom{=\ }\pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}^{-1}(U_{\alpha_1} \times \cdots \times U_{\alpha_n}) \notag \\ &= \{ (\omega_\lambda)_{\lambda \in \varLambda} \mid \omega_\lambda \in \varOmega_\lambda \text{ for all }\lambda \in \varLambda,\,\omega_{\alpha_i} \in U_{\alpha_i}\text{ for all }i \in \{1,\,\ldots,\,n\}\} \notag \\ &= \pi_{\alpha_1}^{-1}(U_{\alpha_1}) \cap \cdots \cap \pi_{\alpha_n}^{-1}(U_{\alpha_n}) \label{cylinder} \end{align} である．\((\ref{cylinder})\)を\(U_{\alpha_1} \times \cdots \times U_{\alpha_n}\)を底とするシリンダー集合と呼ぶ．可測空間の族\(((\varOmega_\lambda,\,\mathcal{F}_\lambda))_{\lambda \in \varLambda}\)が与えられたとき，直積\(\sigma\)-代数\(\mathcal{F}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{\alpha_n}\)について \begin{align*} &\phantom{=\ }\pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}^{-1}(\mathcal{F}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{\alpha_n}) \\ & = \{\pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}^{-1}(F_{\alpha_1} \times \cdots \times F_{\alpha_n}) \mid F_{\alpha_1} \times \cdots \times F_{\alpha_n} \in \mathcal{F}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{\alpha_n}\} \\ & = \left\{ \pi_{\alpha_1}^{-1}(F_{\alpha_1}) \cap \cdots \cap \pi_{\alpha_n}^{-1} (F_{\alpha_n}) \mid F_{\alpha_1} \in \mathcal{F}_{\alpha_1},\,\ldots,\,F_{\alpha_n} \in \mathcal{F}_{\alpha_n} \right\} \end{align*} と表記する．添字集合が有限でない場合の\((\mathcal{F}_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}\)の直積\(\sigma\)-代数を以下で定義する： \begin{align*} \bigotimes_{\lambda \in \varLambda} \mathcal{F}_\lambda := \sigma \left( \bigcup_{n \in \mathbb{Z}_+} \bigcup_{(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n) \in \varLambda^n_\neq} \pi_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}^{-1}(\mathcal{F}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{\alpha_n}) \right). \end{align*}

5. 可算無限回連続コイントス

可算無限回のコイントスにおいて，\(i\,(\in \mathbb{Z}_+)\)回目のコイントスの標本空間を\(\varOmega_i = \mathfrak{P}(\varOmega_i) = \{\emptyset,\, \{\mathrm{H}\},\, \{\mathrm{T}\},\,\{\mathrm{H},\,\mathrm{T}\}\}\)とする．このとき試行全体の標本空間は \begin{align*} \varOmega^{\mathbb{Z}_+} &= \prod_{i \in \mathbb{Z}_+} \varOmega_i \\ &= \varOmega_1 \times \varOmega_2 \times \cdots \\ &= \{(\omega_i)_{i \in \mathbb{Z}_+} \mid \text{\(\omega_i \in \varOmega_i\) for all \(i \in \mathbb{Z}_+\)} \} \end{align*} となる．\(i\)回目の試行の事象空間\(\mathcal{F}_i\)は，有限回の場合と同様，離散\(\sigma\)-代数\(\mathfrak{P}(\varOmega_i)\)とする．このとき試行全体の事象空間は\(\bigotimes_{i \in \mathbb{Z}_+} \mathcal{F}_i\)となる．この空間には「1回目に表が出て，3回目に裏が出る」といった事象が含まれる．実際この事象は， \(F_1 = \{\omega_1 \in \varOmega_1 \mid \omega_1 = \mathrm{H}\}\)と \(F_3 = \{\omega_3 \in \varOmega_3 \mid \omega_3 = \mathrm{T}\}\)とすると \begin{align*} \pi_{1,\,3}^{-1}\,(F_1 \times F_3) &= \{ (\omega_1,\,\omega_2,\,\omega_3,\,\omega_4\ldots) \mid \omega_1 = \mathrm{H},\,\omega_2 \in \varOmega_2,\,\omega_3 = \mathrm{T},\, \omega_4 \in \varOmega_4,\,\ldots\} \\ &= F_1 \times \varOmega_2 \times F_3 \times \varOmega_4 \times \cdots \\ \end{align*} のように\(F_1 \times F_3\)を底とするシリンダー集合で表すことができる．さて確率測度はどのように決めればよいだろうか？この質問に答えるのがKolmogorovの拡張定理である．

9 Tikhonovの定理

8.1 ポーランド空間

距離空間\((\varOmega,\,d)\)が可分 (seperable)であるとは，\(\varOmega\)が可算かつ稠密な部分集合をもつことをいう．また距離空間が完備 (complete)であるとは\(\varOmega\)上の任意のCauchy列が\(\varOmega\)に極限をもつことをいう．可分かつ完備な距離空間をポーランド空間と呼ぶ．

8.1 ポーランド空間であることの確認

集合\(\varOmega = \{\mathrm{H},\,\mathrm{T}\}\)に離散距離 \begin{align} d(\omega,\,\omega') = \begin{cases} 0 & \text{if }\omega = \omega', \\ 1 & \text{otherwise}. \end{cases} \label{discrete-distance} \end{align} を入れて作られる距離空間\((\varOmega,\,d)\)はポーランド空間である．先に完備であることを示そう．任意に\(\varOmega\)上のCauchy列\((\omega_i)_{i \in \mathbb{Z}_+}\)をとる．このとき \begin{align} \exists N \in \mathbb{Z}_+,\,\forall m,\,n \geq N,\,d(\omega_m,\,\omega_n) \lt \frac{1}{2} \label{convergence} \end{align} が成り立つ．距離を\((\ref{discrete-distance})\)で定めたから，\((\ref{convergence})\)は\(m,\,n\geq N\)ならば\(\omega_m = \omega_n\)ということを意味する．\(\omega_N = \mathrm{H}\)ならば\((\omega_i)_{i \in \mathbb{Z}_+}\)は\(\mathrm{H}\)に収束し，そうでなければ\(\mathrm{T}\)に収束する．任意のCauchy列が極限を\(\varOmega\)にもつので\((\varOmega,\,d)\)は完備である．

\(\varOmega\)は明らかに可算である．最後に\(\varOmega\)が稠密であることを確認する．\(\varOmega\)上の任意の収束列の極限は\(\mathrm{H}\)または\(\mathrm{T}\)のいずれかである．なぜならば一般に収束列はCauchy列であり，\(\varOmega\)上のCauchy列は\(\mathrm{H}\)または\(\mathrm{T}\)のいずれかに収束することを既に確認したからである．よって\(\overline{\varOmega} = \{\mathrm{H},\,\mathrm{T}\} = \varOmega\)となり，\(\varOmega\)自身が\(\varOmega\)の稠密な部分集合になっている．

直積位相

11 Riesz–Markov–角谷の表現定理

11.2 有限符号付き測度

\(\mu\left(\bigcup_{n = 1}^\infty E_n\right)\)は\((E_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)の順番に依らないので，上の定義がwell-definedであるためには\(\sum_{n = 1}^\infty \mu(E_n)\)も\((E_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)の順番に依らず同じ値でなければならない．「絶対収束\(\Rightarrow\)任意の交替級数が収束」が成り立つことはよく知られている（よく使われる）が、実は逆「任意の交替級数が収束\(\Rightarrow\)絶対収束」も成り立つ．したがって上の定義は暗に\(\sum_{n = 1}^\infty \mu(E_n)\)は絶対収束するというを要請している．「任意の交替級数が収束\(\Rightarrow\)絶対収束」が成り立つことはRiemannの再配列定理などと呼ばれる定理の対偶からわかる．

任意の有限符号付き測度は\(\mu(\emptyset) = 0\)を満たす．これは以下のように確認できる．\(\sigma\)-加法性より \begin{align*} \mu(\emptyset) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \mu(\emptyset) = \lim_{n \to \infty} n\mu(\emptyset) \end{align*} が成り立つ．\(\mu(\emptyset) \neq 0\)と仮定すると\(\lim_{n \to \infty} n\mu(\emptyset) = \pm \infty\)となり\(\mu(\emptyset) \in \mathbb{R}\)に矛盾する．よって\(\mu(\emptyset) = 0\)である．

証明\(A\)と\(B \setminus A\)は互いに素なので\(\sigma\)-加法性（から導かれる有限加法性）より\(\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A)\)が成り立ち，したがって\(\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)\)が成り立つ．∎

符号付きでない一般的な測度は，定義に非負性\(\mu\colon \mathcal{E} \to [0,\,\infty]\)が含まれているので，上の証明において\(\mu(B \setminus A) \geq 0\)であることから単調性\(\mu(A) \leq \mu(B)\)がわかる．一方，符号付き測度では一般に単調性は成り立たない．以下の単調収束性は証明に非負性を利用しないため，普通の測度と同様に成り立つ．

証明 \((\ref{monotone1})\)を示す．\(A_0 = \emptyset\)とする．\(A_n\uparrow\)のとき，\(A_1 \setminus A_0 = A_1,\,A_2 \setminus A_1,\,\ldots\)は互いに素なので \begin{align*} \mu\left(\bigcup_{n = 1}^\infty A_n \right) & = \mu\left(\bigcup_{n = 1}^\infty (A_n \setminus A_{n - 1}) \right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \mu(A_k \setminus A_{k - 1}) \\ & = \lim_{n \to \infty} ((\mu(A_1) - \mu(A_0)) + (\mu(A_2) - \mu(A_1)) + \cdots + (\mu(A_n) - \mu(A_{n - 1}))) \\ & = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \end{align*} が成り立つ．

\((\ref{monotone2})\)を示す．一般に次が成り立つ： \begin{align*} A_1 \setminus \bigcup_{n = 1}^\infty A_n &= A_1 \cap \left(\bigcap_{n = 1}^\infty A_n \right)^c \\ &= A_1 \cap \bigcup_{n = 1}^\infty A_n^c \\ &= \bigcup_{n = 1}^\infty (A_1 \cap A_n^c) \\ &= \bigcup_{n = 1}^\infty (A_1 \setminus A_n). \end{align*} \(A_n\downarrow\)のとき，\(A_1 \setminus A_n \uparrow\)に上の結果を用いて \begin{align*} \mu(A_1) - \mu\left(\bigcap_{n = 1}^\infty A_n \right) &= \mu\left(A_1 \setminus \bigcap_{n = 1}^\infty A_n \right) \\ &= \mu\left(\bigcup_{n = 1}^\infty (A_1 \setminus A_n) \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \mu(A_1 \setminus A_n) \\ &= \lim_{n \to \infty} (\mu(A_1) - \mu(A_n)) \\ &= \mu(A_1) - \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \end{align*} となるので\((\ref{monotone2})\)が成り立つ．∎

もちろん非負や非正といったほうが正確だが，正・負(positive/negative)のほうがよく使われているため，そちらに合わせる．

証明 集合族\((E_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)を以下のように定義する： \begin{align*} E_n = \begin{cases} P_1 & \text{if \(n = 1\)}, \\ P_n \setminus (P_1 \cup P_2 \cup \cdots P_{n - 1}) & \text{otherwise}. \end{cases} \end{align*} このとき\((E_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}\)は互いに素な\(\mathcal{E}\)の要素からなる族で，\(\bigcup_{n \in \mathbb{Z}_+} E_n = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}_+}P_n\)である．さらに各\(n \in \mathbb{Z}_+\)で\(E_n \subseteq P_n\)であるから，正集合の性質により\(\mu(E_n) \geq 0\)が成り立つ．

任意の\(A \in \mathcal{E}\)で\(A \subseteq \bigcup_{n = 1}^\infty P_n\)をとる．一般に\(A \subseteq B\)ならば\(A \cap B = A\)であることから \begin{align*} \mu(A) = \mu\left(A \cap \bigcup_{n = 1}^\infty P_n \right) = \mu\left(A \cap \bigcup_{n = 1}^\infty E_n \right) = \mu\left(\bigcup_{n = 1}^\infty (A \cap E_n) \right) \end{align*} が成り立つ．各\(n \in \mathbb{Z}_+\)で\(A \cap E_n \subseteq P_n\)かつ，\(A \cap E_1,\,A \cap E_2,\,\ldots\)は互いに素であるから，\(\sigma\)-加法性により \begin{align*} \mu(A) = \sum_{n = 1}^\infty \mu(A \cap E_n) \geq 0 \end{align*} が成り立つ．ゆえに\(\bigcup_{n = 1}^\infty P_n\)もまた正集合である．∎

証明 集合\(S\)を \begin{align*} S = \{\mu(P) \mid P\text{ is a positive set for }\mu\} \end{align*} と定義する．空集合\(\emptyset \in \mathcal{E}\)は\(\mu\)の正集合なので\(S \neq \emptyset\)である．よって上限\(s := \sup S\)が存在する．上限の性質により，任意の\(n \in \mathbb{Z}_+\)に対して，\(\mu\)の正集合\(P_n \in \mathcal{E}\)で \begin{align*} s - \frac{1}{n} \leq \mu(P_n) \leq s \end{align*} が成り立つようなものをとることができる．\(X^+ := \bigcup_{n = 1}^\infty P_n\)とすると補題11より\(X^+\)は\(\mu\)の正集合である． \(X^- = X \setminus X^+\)とする．このとき\(X = X^+ \cup X^-\)かつ\(X^+ \cap X^- = \emptyset\)が成り立つ．あとは\(X^-\)が\(\mu\)の負集合であることを示せばよい．

各\(n \in \mathbb{Z}_+\)で\(P_n \subset X^+\)かつ\(X^+\)が正集合であるから \begin{align*} \mu(X^+) &= \mu(X^+ \setminus P_n) + \mu(P_n) \\ &\geq \mu(P_n) \end{align*} が成り立つ．また上限の性質より\(\mu(X^+) \leq s\)であるから，任意の\(n \in \mathbb{Z}_+\)で \begin{align*} s - \frac{1}{n} \leq \mu(P_n) \leq \mu(X^+) \leq s \end{align*} が成り立ち，\(s= \mu(X^+)\)であることがわかる．\(X^-\)が負集合でないと仮定する．このときある\(E \in \mathcal{E}\)で\(E \subseteq X^-\)かつ\(\mu(E) \gt 0\)となるようなものが存在する．補題により正集合\(A \subseteq E\)で\(\mu(A) \gt 0\)となるようなものが存在する．\(A \subset X^-\)より\(A \cap X^+ = \emptyset\)かつ，補題11から\(\mu(X^+ \cup A)\)が正集合なので \begin{align*} \mu(X^+ \cup A) = \mu(X^+) + \mu(A) \gt \mu(X^+) \end{align*} となる．しかしこれは\(\mu(X^+)\)が\(S\)の上限であったことと矛盾する．ゆえに\(X^-\)は負集合である．∎

Kolmogorovの拡張定理

条件1 \(\{1,\,\ldots,\,n\}\)から\(\{1,\,\ldots,\,n\}\)への全単射（置換）全体を\(\mathfrak{S}_n\)と書く．任意の順序対\((\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n) \in \varLambda^n_\neq\)，集合\(F_{\alpha_1} \in \mathcal{F}_{\alpha_1},\,\ldots,\,F_{\alpha_n} \in \mathcal{F}_{\alpha_i}\)，置換\(\tau \in \mathfrak{S}_n\)について \begin{align} \mu_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}(F_{\alpha_1} \times \cdots \times F_{\alpha_n}) = \mu_{\alpha_{\tau(1)},\,\ldots,\,\alpha_{\tau(n)}} (F_{\alpha_{\tau(1)}} \times \cdots \times F_{\alpha_{\tau(n)}}) \end{align} が成り立つ．

位相空間の族\(((\varOmega_\lambda,\,\mathcal{O}_\lambda))_{\lambda \in \varLambda}\)が各\(\lambda \in \varLambda\)で\(\varOmega_\lambda\)がポーランド空間であるとする．各\(\lambda \in \varLambda\)について\(\mathcal{F}_\lambda = \mathcal{B}(\mathcal{O}_\lambda)\)で定まる\((\mathcal{F}_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}\)が与えられたとする． 空間\((\varOmega_{\alpha_1} \times \cdots \varOmega_{\alpha_n},\,\mathcal{F}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{\alpha_n})\}\)上の確率測度全体の集合を\(M_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n}\)と表すことにする． 有限個の直積空間における確率測度の族 \begin{gather} M_\text{finite} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}_+}\bigcup_{(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n) \in \varLambda_\neq^n} M_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n} \end{gather} \(\lambda \in \varLambda\)で\(\varOmega_\lambda\)がコンパクトなとき，Tikhonovの定理より\(\varOmega := \prod_{\lambda \in \varLambda} \varOmega_\lambda\)もまたコンパクトである．\(\varOmega\)上の実数値連続関数全体の集合\(C(\varOmega)\)に一様ノルムを入れた\((C(X),\,\|\cdot\|_\infty)\)はBanach代数である． \(f \in C(\varOmega)\)が，\((\omega_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}\)の有限個の座標のみに依存する，すなわち任意の\(n \in \mathbb{Z}_+\)と任意の\((\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n) \in \varLambda_\neq^n\)について \begin{align} f((\omega_\lambda)_{\lambda \in \varLambda}) = \check{f}(\omega_{\alpha_1},\,\ldots,\,\omega_{\alpha_n}) \end{align} と書けるとき，有界線型汎関数\(\varphi \colon C(\varOmega) \to F\)を \begin{align} \varphi(f) = \int_{S_{\alpha_1} \times \cdots \times S_{\alpha_n}} \overline{f} d\mu_{\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n} \label{phi} \end{align} で定義する． \(C(\varOmega)\)に属す関数で，有限個の座標のみに依存する関数全体の集合\(B\)は，\(C(\varOmega)\)の稠密な部分集合である．したがってStone–Weierstraßの定理により，\(\ref{phi}\)は\(C(\varOmega)\)全体に拡張できる． Rieszの表現定理 \begin{align*} \nu_0 (E_{\boldsymbol{\alpha}} \cup E_{\boldsymbol{\alpha}}') &= \mu_{\boldsymbol{\alpha}}(E_{\boldsymbol{\alpha}} \cup E_{\boldsymbol{\alpha}}') \\ &= \mu_{\boldsymbol{\alpha}}\left(\prod_{i = 1}^m (E_{\alpha_i} \cup E_{\alpha_i}')\right) \\ &= \prod_{i = 1}^m \mu_{\alpha_i}(E_{\alpha_i} \cup E_{\alpha_i}') \\ &= \prod_{i = 1}^m (\mu_{\alpha_i}(E_{\alpha_i}) + \mu_{\alpha_i}(E_{\alpha_i}')) \\ &= \prod_{i = 1}^m \mu_{\alpha_i}(E_{\alpha_i}) + \prod_{i = 1}^m \mu_{\alpha_i}(E_{\alpha_i}') \\ &= \mu_{\boldsymbol{\alpha}}(E_\boldsymbol{\alpha}) + \mu_{\boldsymbol{\alpha}}(E_\boldsymbol{\alpha}') \\ &= \nu_0(E_\boldsymbol{\alpha}) + \nu_0(E_\boldsymbol{\alpha}') \\ \end{align*} \((E_i)_{i \in \mathbb{N}},\,E_i \in \pi_{\boldsymbol{\alpha}}^{-1}(\mathcal{F_\alpha})\)
\(E_\infty = \bigcup_{i = 1}^\infty E_n\)
\(F_k = E_\infty \setminus \left(\bigcup_{i = 1}^k E_i \right) \)
\(F_k \in \pi_{\boldsymbol{\alpha}}^{-1}\)
\(\bigcup_{k = 1}^\infty F_k = \emptyset\)

\(\lim_{k \to \infty}\nu_0(F_k) = 0\)? \begin{align} \forall \varepsilon \gt 0,\,\exists K \in \mathbb{Z}_+,\, \forall k \geq K\, [ \nu_0(F_k) \leq \varepsilon ] \end{align} もしそうでなければ，ある\(\varepsilon \gt 0\)が存在して，\ ある\(\boldsymbol{\beta} \)