π-systemとλ-system

Posted: 2023-04-15

1. $σ$ -加法族

集合 $E$ の部分集合族 $E \subset 2^{E}$ が $σ$ -加法族( $σ$ -algebra)であるとは，以下の(s1)–(s3)が成り立つことである．

$E \in E$ ．
$A \in E$ ならば $E ∖ A \in E$ ．
集合列 $(A_{n})_{n \in N}$ について，任意の $n \in N$ で $A_{n} \in E$ ならば $⋃_{n \in N} A_{n} \in E$ ．

2. $π$ -system

集合 $E$ の部分集合族 $E \subset 2^{E}$ が $π$ -system（またはp-system）であるとは， $E$ が積(product)について閉じていることをいう．すなわち以下の(p1)が成り立つことをいう．

$A_{1} \in E$ かつ $A_{2} \in E$ ならば $A_{1} \cap A_{2} \subset E$ ．

3. $λ$ -system

集合 $E$ の部分集合族 $E \subset 2^{E}$ が $λ$ -system（またはd-system）であるとは，以下の(d1)–(d3)が成り立つことである．

$E \in E$ ．
$A_{1} \in E$ かつ $A_{2} \in E$ かつ $A_{1} \subset A_{2}$ ならば $A_{2} ∖ A_{1} \in E$ ．
増加する集合列 $(A_{n})_{n \in N}$ について，任意の $n \in N$ で $A_{n} \in E$ ならば， $⋃_{n \in N} A_{n} \in E$ ．

$(A_{n})_{n \in N}$ が増加する集合列（以降，単に増加列と呼ぶ）であるとは，各 $n$ で $A_{n} \subset A_{n + 1}$ が成り立つことである． $A := ⋃_{n \in N} A_{n}$ をその極限と呼ぶ．

$λ$ -systemの⟨d⟩はEugene Dynkinにちなむ．

命題

$E$ が $E$ の $σ$ -加法族であることは， $E$ が $E$ の $π$ -systemかつ $λ$ -systemであることと同値である．

証明

$σ$ -加法族ならば $π$ -systemであることを示す． $A_{1} \in E$ かつ $A_{2} \in E$ ならば(s2)により $E ∖ A_{1} \in E$ かつ $E ∖ A_{2} \in E$ が成り立つ．このとき(s3)より $(E ∖ A_{1}) \cup (E ∖ A_{2}) \in E$ である．(s3)とDe Morganの法則により $A_{1} \cap A_{2} = E ∖ ((E ∖ A_{1}) \cup (E ∖ A_{2}))) \in E$ を得る．

証明木

Π_{1}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [σ -algebra]_{1} \end{matrix} \\ (s 3) \land (s 2) \end{matrix} \land E & ((s 3) \land (s 2)) \Rightarrow π -system \end{matrix} \\ π -system \end{matrix} \Rightarrow E

次に $σ$ -加法族ならば $λ$ -systemであることを示す．(d1)と(s1)は同値である．

証明木

Π_{2}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [σ -algebra]_{1} \end{matrix} \\ (s 1) \end{matrix} \land E & (s 1) \Rightarrow (d 1) \end{matrix} \\ (d 1) \end{matrix} \Rightarrow E

$A_{2} ∖ A_{1} = A_{2} \cap (E ∖ A_{1})$ なので，(s1) と $π$ -systemであることから(d2)の成立が確認できる．

証明木

Π_{3}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [σ -algebra]_{1} \end{matrix} \\ (s 2) \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{1} \end{matrix} \\ π -system \end{matrix} \end{matrix} \\ (s 2) \land π -system \end{matrix} & (s) \land π -system) \Rightarrow (d 2) \end{matrix} \\ (d 2) \end{matrix} \Rightarrow E

(s3)から(d3)は明らかである．

証明木

Π_{4}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [σ -algebra]_{1} \end{matrix} \\ (s 3) \end{matrix} \land E & (s 3) \Rightarrow (d 3) \end{matrix} \\ (d 3) \end{matrix} \Rightarrow E

以上より $σ$ -加法族ならば $π$ -systemかつ $λ$ -systemであることが示された．

証明木

Π_{5}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{1} \end{matrix} \\ π -system \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{1} \end{matrix} \\ (d 2) \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{2} \end{matrix} \\ (d 3) \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{3} \end{matrix} \\ (d 1) \end{matrix} \end{matrix} \\ λ -system \end{matrix} \land I \end{matrix} \\ π -system \land λ -system \end{matrix} \end{matrix} \\ σ -algebra \Rightarrow (π -system \land λ -system) \end{matrix} 1, \Rightarrow I

逆を示す．(s1)と(d1)は同値である．

証明木

Π_{5}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [π -system \land λ -system]_{2} \end{matrix} \\ (d 1) \end{matrix} \land E & (d 1) \Rightarrow (s 1) \end{matrix} \\ (s 1) \end{matrix} \Rightarrow E

任意の $A \in E$ をとる．このとき(d1)より $E \in E$ であり，また明らかに $A \subset E$ なので(d2)より $E ∖ A \in E$ ．

証明木

Π_{6}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [π -system \land λ -system]_{2} \end{matrix} \\ (d 1) \land (d 2) \end{matrix} \land E & (d 1) \land (d 2) \Rightarrow (s 2) \end{matrix} \\ (s 2) \end{matrix} \Rightarrow E

集合列 $(A_{n})_{n \in N}$ が各 $n$ で $A_{n} \in E$ を満たしているとする．このとき増加列 $(B_{n})_{n \in N}$ を $B_{n} = ⋃_{i = 0}^{n} A_{i}$ で定義する． $A_{0} \cup A_{1} = E ∖ ((E ∖ A_{0}) \cap (E ∖ A_{1}))$ であり，(d2)より $E ∖ A_{0} \in E$ かつ $E ∖ A_{1} \in E$ ． $π$ -systemであることより $(E ∖ A_{0}) \cap (E ∖ A_{1}) \in E$ ．再度(d2)を用いることで $A_{0} \cup A_{1} \in E$ となる．帰納的に任意の $n \in N$ で $B_{n} \in E$ であることが容易に確認できるので，(d3)より $⋃_{n \in N} B_{n} \in E$ である． $⋃_{n \in N} B_{n} = ⋃_{n \in N} A_{n}$ であるから $⋃_{n \in N} A_{n} \in E$ ．

証明木

Π_{7}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} [π -system \land λ -system]_{2} \end{matrix} \\ π -system \land (d 2) \land (d 3) \end{matrix} \land E & (π -system \land (d 2) \land (d 3)) \Rightarrow (s 3) \end{matrix} \\ (s 3) \end{matrix} \Rightarrow E

したがって $π$ -systemかつ $λ$ -systemであるとき， $σ$ -加法族であることが示された．

証明木

Π_{8}

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{5} \end{matrix} \\ (s 1) \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{6} \end{matrix} \\ (s 2) \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Π_{7} \end{matrix} \\ (s 3) \end{matrix} \end{matrix} \\ σ -algebra \end{matrix} \land I \end{matrix} \\ (π -system \land λ -system) \Rightarrow σ -algebra \end{matrix} 2, \Rightarrow I

以上より命題が証明された．∎

参考文献

Erhan Çınlar (2011) Probability and Stochastics. Springer New York.

π-systemとλ-system

1. σ-加法族

2. π-system

3. λ-system

命題

参考文献

1. $σ$ -加法族

2. $π$ -system

3. $λ$ -system