π-systemとλ-system
1. \(\sigma\)-加法族
集合\( E \)の部分集合族\( \mathcal{E} \subset 2^E \)が\(\sigma\)-加法族(\(\sigma\)-algebra)であるとは,以下の(s1)–(s3)が成り立つことである.
- \(E \in \mathcal{E} \).
- \(A \in \mathcal{E}\)ならば\(E \setminus A \in \mathcal{E}\).
- 集合列\( (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \)について,任意の\( n \in \mathbb{N} \)で\( A_n \in \mathcal{E} \)ならば\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E} \).
2. \(\pi\)-system
集合\( E \)の部分集合族\( \mathcal{E} \subset 2^E \)が\(\pi\)-system(またはp-system)であるとは,\( \mathcal{E} \)が積(product)について閉じていることをいう.すなわち以下の(p1)が成り立つことをいう.
- \( A_1 \in \mathcal{E} \)かつ\( A_2 \in \mathcal{E} \)ならば\( A_1 \cap A_2 \subset \mathcal{E} \).
3. \(\lambda\)-system
集合\( E \)の部分集合族\( \mathcal{E} \subset 2^E \)が\(\lambda\)-system(またはd-system)であるとは,以下の(d1)–(d3)が成り立つことである.
- \( E \in \mathcal{E} \).
- \( A_1 \in \mathcal{E} \)かつ\( A_2 \in \mathcal{E} \)かつ\( A_1 \subset A_2 \)ならば\( A_2 \setminus A_1 \in \mathcal{E} \).
- 増加する集合列\( (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \)について,任意の\( n \in \mathbb{N} \)で\( A_n \in \mathcal{E} \)ならば,\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E} \).
\((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\)が増加する集合列(以降,単に増加列と呼ぶ)であるとは,各\( n \)で\( A_n \subset A_{n + 1} \)が成り立つことである.\( A := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \)をその極限と呼ぶ.
\(\lambda\)-systemの〈d〉はEugene Dynkinにちなむ.
命題
\(\mathcal{E}\)が\(E\)の\(\sigma\)-加法族であることは,\(\mathcal{E}\)が\(E\)の\(\pi\)-systemかつ\(\lambda\)-systemであることと同値である.
証明\(\sigma\)-加法族ならば\(\pi\)-systemであることを示す.\(
A_1 \in \mathcal{E}
\)かつ\(
A_2 \in \mathcal{E}
\)ならば(s2)により\(E \setminus A_1 \in \mathcal{E}\)かつ\(E \setminus A_2 \in \mathcal{E}\)が成り立つ.このとき(s3)より\(
(E \setminus A_1) \cup (E \setminus A_2) \in \mathcal{E}
\)である.(s3)とDe Morganの法則により\(
A_1 \cap A_2 = E \setminus ((E \setminus A_1) \cup (E \setminus A_2) ) ) \in \mathcal{E}
\)を得る.
次に\(\sigma\)-加法族ならば\(\lambda\)-systemであることを示す.(d1)と(s1)は同値である.
\(A_2 \setminus A_1 = A_2 \cap (E \setminus A_1)\)
なので,(s1) と\(\pi\)-systemであることから(d2)の成立が確認できる.
(s3)から(d3)は明らかである.
以上より\(\sigma\)-加法族ならば\(\pi\)-systemかつ\(\lambda\)-systemであることが示された.
逆を示す.(s1)と(d1)は同値である.
任意の
\(A \in \mathcal{E}\)
をとる.このとき(d1)より
\(E \in \mathcal{E}\)
であり,また明らかに
\(A \subset E\)
なので(d2)より
\(E \setminus A \in \mathcal{E}\).
集合列\(
(A_n)_{n \in \mathbb{N}}
\)が各\(
n
\)で\(
A_n \in \mathcal{E}
\)を満たしているとする.このとき増加列\(
(B_n)_{n \in \mathbb{N}}
\)を\(
B_n = \bigcup_{i = 0}^n A_i
\)で定義する.\(
A_0 \cup A_1 = E \setminus ( (E \setminus A_0) \cap ( E \setminus A_1 ))
\)であり,(d2)より\(
E \setminus A_0 \in \mathcal{E}
\)かつ\(
E \setminus A_1 \in \mathcal{E}
\).\(\pi\)-systemであることより\(
(E \setminus A_0) \cap (E \setminus A_1) \in \mathcal{E}
\).再度(d2)を用いることで\(
A_0 \cup A_1 \in \mathcal{E}
\)となる.帰納的に任意の\(
n \in \mathbb{N}
\)で\(
B_n \in \mathcal{E}
\)であることが容易に確認できるので,(d3)より\(
\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \in \mathcal{E}
\)である.\(
\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n
\)であるから\(
\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E}
\).
したがって\(\pi\)-systemかつ\(\lambda\)-systemであるとき,\(\sigma\)-加法族であることが示された.