π-systemとλ-system

Posted: 2023-04-15

1. $\sigma$-加法族

集合$ E $の部分集合族$ \mathcal{E} \subset 2^E $が$\sigma$-加法族($\sigma$-algebra)であるとは，以下の(s1)–(s3)が成り立つことである．

$E \in \mathcal{E} $．
$A \in \mathcal{E}$ならば$E \setminus A \in \mathcal{E}$．
集合列$ (A_n)_{n \in \mathbb{N}} $について，任意の$ n \in \mathbb{N} $で$ A_n \in \mathcal{E} $ならば$ \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E} $．

2. $\pi$-system

集合$ E $の部分集合族$ \mathcal{E} \subset 2^E $が$\pi$-system（またはp-system）であるとは，$ \mathcal{E} $が積(product)について閉じていることをいう．すなわち以下の(p1)が成り立つことをいう．

$ A_1 \in \mathcal{E} $かつ$ A_2 \in \mathcal{E} $ならば$ A_1 \cap A_2 \subset \mathcal{E} $．

3. $\lambda$-system

集合$ E $の部分集合族$ \mathcal{E} \subset 2^E $が$\lambda$-system（またはd-system）であるとは，以下の(d1)–(d3)が成り立つことである．

$ E \in \mathcal{E} $．
$ A_1 \in \mathcal{E} $かつ$ A_2 \in \mathcal{E} $かつ$ A_1 \subset A_2 $ならば$ A_2 \setminus A_1 \in \mathcal{E} $．
増加する集合列$ (A_n)_{n \in \mathbb{N}} $について，任意の$ n \in \mathbb{N} $で$ A_n \in \mathcal{E} $ならば，$ \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E} $．

$(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$が増加する集合列（以降，単に増加列と呼ぶ）であるとは，各$ n $で$ A_n \subset A_{n + 1} $が成り立つことである．$ A := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n $をその極限と呼ぶ．

$\lambda$-systemの⟨d⟩はEugene Dynkinにちなむ．

命題

$\mathcal{E}$が$E$の$\sigma$-加法族であることは，$\mathcal{E}$が$E$の$\pi$-systemかつ$\lambda$-systemであることと同値である．

証明

$\sigma$-加法族ならば$\pi$-systemであることを示す．$ A_1 \in \mathcal{E} $かつ$ A_2 \in \mathcal{E} $ならば(s2)により$E \setminus A_1 \in \mathcal{E}$かつ$E \setminus A_2 \in \mathcal{E}$が成り立つ．このとき(s3)より$ (E \setminus A_1) \cup (E \setminus A_2) \in \mathcal{E} $である．(s3)とDe Morganの法則により$ A_1 \cap A_2 = E \setminus ((E \setminus A_1) \cup (E \setminus A_2) ) ) \in \mathcal{E} $を得る．

証明木 $\Pi_1$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\sigma$-algebra}]_1$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$(\text{s}3) \land (\text{s}2)$} \AxiomC{$((\text{s}3) \land (\text{s}2)) \Rightarrow \text{$\pi$-system}$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$\text{$\pi$-system}$} \end{prooftree}

次に$\sigma$-加法族ならば$\lambda$-systemであることを示す．(d1)と(s1)は同値である．

証明木 $\Pi_2$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\sigma$-algebra}]_1$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$(\text{s}1)$} \AxiomC{$(\text{s}1) \Rightarrow (\text{d}1)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{d}1)$} \end{prooftree}

$A_2 \setminus A_1 = A_2 \cap (E \setminus A_1)$ なので，(s1) と$\pi$-systemであることから(d2)の成立が確認できる．

証明木 $\Pi_3$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\sigma$-algebra}]_1$} \UnaryInfC{$(\text{s}2)$} \AxiomC{$\Pi_1$} \noLine \UnaryInfC{$\text{$\pi$-system}$} \BinaryInfC{$(\text{s}2) \land \text{$\pi$-system}$} \AxiomC{$(\text{s}) \land \text{$\pi$-system}) \Rightarrow (\text{d}2)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{d}2)$} \end{prooftree}

(s3)から(d3)は明らかである．

証明木 $\Pi_4$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\sigma$-algebra}]_1$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$(\text{s}3)$} \AxiomC{$(\text{s}3) \Rightarrow (\text{d}3)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{d}3)$} \end{prooftree}

以上より$\sigma$-加法族ならば$\pi$-systemかつ$\lambda$-systemであることが示された．

証明木 $\Pi_5$ \begin{prooftree} \AxiomC{$\Pi_1$} \noLine \UnaryInfC{$\text{$\pi$-system}$} \AxiomC{$\Pi_1$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{d}2)$} \AxiomC{$\Pi_2$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{d}3)$} \AxiomC{$\Pi_3$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{d}1)$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$I}$} \TrinaryInfC{$\text{$\lambda$-system}$} \BinaryInfC{$\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system}$} \RightLabel{ $\small \text{1, $\Rightarrow\,$I}$} \UnaryInfC{$\text{$\sigma$-algebra} \Rightarrow (\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system})$} \end{prooftree}

逆を示す．(s1)と(d1)は同値である．

証明木 $\Pi_5$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system}]_2$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$(\text{d}1)$} \AxiomC{$(\text{d}1) \Rightarrow (\text{s}1)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{s}1)$} \end{prooftree}

任意の $A \in \mathcal{E}$ をとる．このとき(d1)より $E \in \mathcal{E}$ であり，また明らかに $A \subset E$ なので(d2)より $E \setminus A \in \mathcal{E}$．

証明木 $\Pi_6$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system}]_2$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$(\text{d}1) \land (\text{d}2)$} \AxiomC{$(\text{d}1) \land (\text{d}2) \Rightarrow (\text{s}2)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{s}2)$} \end{prooftree}

集合列$ (A_n)_{n \in \mathbb{N}} $が各$ n $で$ A_n \in \mathcal{E} $を満たしているとする．このとき増加列$ (B_n)_{n \in \mathbb{N}} $を$ B_n = \bigcup_{i = 0}^n A_i $で定義する．$ A_0 \cup A_1 = E \setminus ( (E \setminus A_0) \cap ( E \setminus A_1 )) $であり，(d2)より$ E \setminus A_0 \in \mathcal{E} $かつ$ E \setminus A_1 \in \mathcal{E} $．$\pi$-systemであることより$ (E \setminus A_0) \cap (E \setminus A_1) \in \mathcal{E} $．再度(d2)を用いることで$ A_0 \cup A_1 \in \mathcal{E} $となる．帰納的に任意の$ n \in \mathbb{N} $で$ B_n \in \mathcal{E} $であることが容易に確認できるので，(d3)より$ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \in \mathcal{E} $である．$ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n $であるから$ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{E} $．

証明木 $\Pi_7$ \begin{prooftree} \AxiomC{$[\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system}]_2$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$E}$} \UnaryInfC{$\text{$\pi$-system} \land (\text{d}2) \land (\text{d}3)$} \AxiomC{$(\text{$\pi$-system} \land (\text{d}2) \land (\text{d}3)) \Rightarrow (\text{s}3)$} \RightLabel{ $\small \text{$\Rightarrow\,$E}$} \BinaryInfC{$(\text{s}3)$} \end{prooftree}

したがって$\pi$-systemかつ$\lambda$-systemであるとき，$\sigma$-加法族であることが示された．

証明木 $\Pi_8$ \begin{prooftree} \AxiomC{$\Pi_5$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{s}1)$} \AxiomC{$\Pi_6$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{s}2)$} \AxiomC{$\Pi_7$} \noLine \UnaryInfC{$(\text{s}3)$} \RightLabel{ $\small \text{$\land\,$I}$} \TrinaryInfC{$\text{$\sigma$-algebra}$} \RightLabel{ $\small \text{2, $\Rightarrow\,$I}$} \UnaryInfC{$(\text{$\pi$-system} \land \text{$\lambda$-system}) \Rightarrow \text{$\sigma$-algebra}$} \end{prooftree} 以上より命題が証明された．∎

参考文献

Erhan Çınlar (2011) Probability and Stochastics. Springer New York.

π-systemとλ-system

1. \(\sigma\)-加法族

2. \(\pi\)-system

3. \(\lambda\)-system

命題

参考文献